「実数のつくり方」―余裕があれば複素数、四元数まで

外延公理 ∀z(z∈x⇔z∈y)⇒x=y
対公理 ∃z∀u[u∈z⇔(u=x∨u=y)]
和集合公理 ∃y∀z[z∈y⇔∃u(z∈u∧u∈x)]
冪集合公理 ∃y∀z(z∈y⇔z⊆x)]
空集合公理 ∃x∀y￢(y∈x)
無限(集合)公理 ∃x[φ∈x∧∀y(y∈x⇒y∪{y}∈x)]
置換公理図式集合論言語scLの vを含まない任意の論理式 ψ(x,y) について ∀x∀y∀z[ψ(x,y)∧ψ(x,z)⇒y=z] ⇒ ∃v∀y[y∈v⇔∃x(x∈u∧ψ(x,y))]
正則性公理 x≠φ⇒∃y(y∈x∧∀x,y∈u(x≠y⇒x∩y=φ)
選択公理 ∀x∈u(x≠φ)∧∀x,y∈u(x≠y⇒x∩y=φ)⇒∃v∀x∈u∃!t(t∈x∧t∈v)

ツェルメロが発表(1908)した公理系を、しばらくして(1921-1922)フレンケル、スコーレムが「置換公理図式」を (ツェルメロの「分出公理(分離公理)図式」から) この形に強化して定式化したもの。スコーレムの名も引いて ZFS集合論と書く人もいるが、ZF で定着してしまっている。

「選択公理」(Axiom of Choice)を付け加えるかどうかで、ZF か ZFC か Cの字を書くかどうか書き分ける。

ペアノの公理系

自然数の集合 N とそのうえの「次の数」を定めるべき函数ψについて

選択公理とそれより弱い(が有用な)もの

次の三つは互いに同値

選択公理 AC
整列可能定理 (Well-ordering theorem)
- 全ての集合は整列可能
Zorn の補題 (下記、各行は互いに言い換えてるだけで同じこと)
- 帰納的集合は極大元を持つ
- 帰納的集合には極大元がある
- 空でない順序集合E が、任意の全順序部分集合が上界を持つなら、Eは極大元を持つ
- 空でない順序集合E について、任意の全順序部分集合に上界があるなら、Eには極大元がある
Zorn, M. (1906-1993) ツォルン (ゾーン)

野矢茂樹, 無限論の教室, 講談社現代新書 (1998).: 自然数から無限の話、ゲーデルの不完全性定理も。僕の立場とは相反する立脚点からの解説ではあるが、哲学系からの入門としてはフェアーでいいと思う。
竹内啓, 数の構造(シリーズ新しい応用の数学 21), 教育出版 (1979).: 「自然数 1,2,3,… から出発して、複素数までの「数」の体系を順次構築していくとともに、その構造を明らかにする」徒に公理論的だったり、基礎論うんちくだったりしない、数学を使う基礎としてよい解説。
一松信, 代数学入門第三課, 第4章体とその拡大, 近代科学社 (1994).: 全体としては代数学全般の入門である。今回は有理数体から代数的に拡張するところだけ参考にする。
西村敏男・難波完爾, 公理論的集合論, 共立講座現代の数学 2, 共立出版 (1985).
田中尚夫, 公理的集合論, 現代数学レクチャーズ B-10, 培風館 (1982).
田中尚夫, 選択公理と数学(増補版)－発生と論争、そして確立への道, 遊星社 (1999).: 今回、公理系などはこの3冊から適宜引用した。

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