=begin* 当日の指摘に従い ==整数と有理数 四則演算に因る拡張 :加算 :減算 負の数 の「可算」を「加算」に訂正。 「可算」と「加算」、同音でありながら、全く意味の違う又文脈の違う語です。もっと注意深く扱っているべきでした。 SF乱学講座(当日)にて、質問して注意を即してくださった方(名前を憶えてません、ごめんなさい)に感謝して訂正します。 2001/6/4 0:15 志村 弘之 =end =begin* SF乱学講座01/6/3志村の講義 講義準備 *公理系などキーワードリスト。 *必要な公理系の公理一覧メモ。 *レファランス(本とWeb)。 =end =begin =「実数のつくり方」―余裕があれば複素数、四元数まで SF乱学講座 2001/6/3 18:15-20:15 ((<志村 弘之|URL:http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9587/geodiary.html>)) ==(記号)論理学 論理学(1階述語論理を前提とする)後掲 ==集合論(ZF(C)) 公理系後掲 ==自然数(ペアノ) 公理系後掲 φ、{φ}、{φ,{φ}}、{φ,{φ},{φ,{φ}}}、{φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ},{φ,{φ}}}}、… … φ、羃、羃羃、羃羃羃、羃羃羃羃、… … 0, 1, 2, 3, 4, … … 「空集合(何もない集合)が、それだけがある」とは、どういうことか。というような哲学には立ち入らない。 ===無限の話(&Aleph;0) 可算無限 ====ヒルベルトホテルとラッカー「白光」 *ヒルベルトホテル *「ホワイトライト」ルーディ・ラッカー著, 黒丸尚訳, ((<鈴木治郎解説|URL:http://alps.shinshu-u.ac.jp/ITAN/GED/SUZUKI/PROFS/white_light.htm>)) (ハヤカワ文庫SF) ((*N*)) ==整数と有理数 四則演算に因る拡張 :加算 :減算 負の数 ((*Z*)) :乗算 :除算 分数(有理数) ((*Q*)) ==代数拡大 整係数多項式に因る拡大 :√2 x 2 = 2 の根 ===もう複素数になってる :i = √-1 x 2 = -1 の根 代数的閉体 でも可算個(実数は連続個(非可算個、2{可算})あるのに) ((*Q-*)) ==代数的(実)数から実数へ ===超越拡大 e , π… いったいいくつ超越拡大したら済むのか --済まない ===完備化 *近似と収束 *区間縮小法 *切断 大小関係と完備化。ε-δ(イプシロン-デルタ)とか。 ((*R*)) ====「羊羹の切口には羊羹は無い!」 大森荘蔵 ==代数学の基本定理 (下記、各行は互いに言い換えてるだけで同じこと) *複素数系数多項式(n次)はn個の複素数根を持つ *複素数係数多項式は複素数の解を持つ *複素数係数多項式の解は複素数である *複素数係数多項式の解は複素数だけ 複素数の範囲内でいろんな計算をしても、複素数の外に出てくことはない、出ていく必要はない。 これでおしまい ((*C*)) ==連続性、連続になると言う事 ===微分の礎としての連続性 イプシロン-デルタ、微分。 = - ==選択公理 公理後掲 じつは(可算)選択公理を使っている ==連続体仮説 基数と連続体仮説、カントール、そしてコーエン = - ==四元数と非可換性 ハミルトンの四元数体、もはや可換ではない ((*H*)) ==行列 非可換な“代数”の例としての行列 ===群、環、体、そして環と可群 抽象化された数:“代数”たち。四則演算の抽象化、性質の抽象化と捨象 ==無限次元の数: ヒルベルト空間 無限次元の“数” (ヒルベルト空間だけではない) =付録 ==1階述語論理の体系 ==集合論言語 (1)記号系 *論理記号 ¬,⇒,∧,∨ *限定作用素 ∀,∃ *括弧とコンマ(特異記号) (,) *(個体)変数 x,y,.., u,v,...(無限個) *等号 = *2項述語記号(所属) ∈ (2)形成規則(論理式の定義) (3)述語論理の公理系 (4)推論規則 ==ZF(C) : 集合論の公理系 (1)外延公理 ∀z(z∈x⇔z∈y)⇒x=y (2)対公理 ∃z∀u[u∈z⇔(u=x∨u=y)] (3)和集合公理 ∃y∀z[z∈y⇔∃u(z∈u∧u∈x)] (4)冪集合公理 ∃y∀z(z∈y⇔z⊆x)] (5)空集合公理 ∃x∀y¬(y∈x) (6)無限(集合)公理 ∃x[φ∈x∧∀y(y∈x⇒y∪{y}∈x)] (7)置換公理図式 集合論言語scLの vを含まない任意の論理式 ψ(x,y) について ∀x∀y∀z[ψ(x,y)∧ψ(x,z)⇒y=z] ⇒ ∃v∀y[y∈v⇔∃x(x∈u∧ψ(x,y))] (8)正則性公理 x≠φ⇒∃y(y∈x∧∀x,y∈u(x≠y⇒x∩y=φ) (9)選択公理 ∀x∈u(x≠φ)∧∀x,y∈u(x≠y⇒x∩y=φ)⇒∃v∀x∈u∃!t(t∈x∧t∈v) ツェルメロが発表(1908)した公理系を、しばらくして(1921-1922)フレンケル、スコーレムが「置換公理図式」を (ツェルメロの「分出公理(分離公理)図式」から) この形に強化して定式化したもの。 スコーレムの名も引いて ZFS集合論と書く人もいるが、ZF で定着してしまっている。 「選択公理」(Axiom of Choice)を付け加えるかどうかで、ZF か ZFC か Cの字を書くかどうか書き分ける。 *Zermero, E. (1871-1953) ツェルメロ *Fraenkel, A. A. (1891-1965) フレンケル *Skolem, Th. (1887-1963) スコーレム ==ペアノの公理系 自然数の集合 N とそのうえの「次の数」を定めるべき函数ψについて (1)∀n∈N∃!m∈N(ψ(n)=m) (2)∀n∀m(ψ(n)=ψ(n)⇒n=m) (3)0∈N (4)∀n∈N(¬ψ(n)=0) (5)∀M⊆N[(0∈M∧(n∈M⇒ψ(n)∈M))⇒M=N] (数学的帰納法の原理) *Peano, G. (1858-1932) ペアノ ==選択公理 選択公理とそれより弱い(が有用な)もの *選択公理 ∀x∈u(x≠φ)∧∀x,y∈u(x≠y⇒x∩y=φ)⇒∃v∀x∈u∃!t(t∈x∧t∈v) *可算選択公理 ACで u は可算集合 *従属選択公理 (Axiom of Dependence Choice) DC(=DC(α)) AC ⇔ ∀αDC(α) 次の三つは互いに同値 *選択公理 AC *整列可能定理 (Well-ordering theorem) *全ての集合は整列可能 *Zorn の補題 (下記、各行は互いに言い換えてるだけで同じこと) *帰納的集合は極大元を持つ *帰納的集合には極大元がある *空でない順序集合E が、任意の全順序部分集合が上界を持つなら、Eは極大元を持つ *空でない順序集合E について、任意の全順序部分集合に上界があるなら、Eには極大元がある *Zorn, M. (1906-1993) ツォルン (ゾーン) ==参考文献 :野矢茂樹, 無限論の教室, 講談社現代新書 (1998). 自然数から無限の話、ゲーデルの不完全性定理も。 僕の立場とは相反する立脚点からの解説ではあるが、哲学系からの入門としてはフェアーでいいと思う。 :竹内啓, 数の構造(シリーズ新しい応用の数学 21), 教育出版 (1979). 「自然数 1,2,3,… から出発して、複素数までの「数」の体系を順次構築していくとともに、その構造を明らかにする」 徒に公理論的だったり、基礎論うんちくだったり((*しない*))、数学を使う基礎としてよい解説。 :一松信, 代数学入門第三課, 第4章 体とその拡大, 近代科学社 (1994). 全体としては代数学全般の入門である。今回は有理数体から代数的に拡張するところだけ参考にする。 :西村敏男・難波完爾, 公理論的集合論, 共立講座 現代の数学 2, 共立出版 (1985). :田中尚夫, 公理的集合論, 現代数学レクチャーズ B-10, 培風館 (1982). :田中尚夫, 選択公理と数学(増補版)−発生と論争、そして確立への道, 遊星社 (1999). 今回、公理系などはこの3冊から適宜引用した。 ===rdソース (()) ruby -pe 'gsub("<","<").gsub!(">",">")' =end =begin* *大森荘蔵, 思考と論理, 日本放送協会出版 ?,?. 大森荘蔵いくつか、能美武功の翻訳 ５）その他(()) =end